1. Visão geral e propósito

As funções 50 e 51 da norma IEEE C37.2 são as duas funções de sobrecorrente mais usadas em proteção elétrica. Ambas monitoram a corrente que passa pelo elemento protegido (linha, transformador, alimentador, motor, gerador) e disparam o disjuntor quando essa corrente excede um limiar pré-estabelecido. A diferença está no tempo de atuação:

• 50 — Instantânea: atua sem retardo intencional, em poucos ms. Função "rápida". Atende faltas de alta corrente próximas ao equipamento, onde a energia I²t cresce muito rápido.
• 51 — Temporizada: atua com retardo que depende da magnitude da corrente (curva inversa). Quanto maior a falta, menor o tempo. Serve como backup e garante seletividade (coordenação) com proteções a jusante.

Na prática, quase sempre se usam 50 e 51 juntas no mesmo equipamento: o patamar 50 corta faltas grandes rapidamente; a curva 51 cobre todas as outras condições com tempo crescente, mantendo coordenação com fusíveis e relés downstream.

2. ANSI 50 — Sobrecorrente Instantânea

2.1 Princípio

SE  |I|  ≥  I_pickup
    ENTÃO PICKUP = 1
    APÓS  T_delay  (tipicamente 0)
    EMITIR  TRIP
SENÃO se I cai abaixo de  k · I_pickup  (k ≈ 0,95):  RESET

2.2 Parâmetros de ajuste

2.3 Critério de ajuste

Duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente:

• Seletividade: I_pickup > I_{falta_máx_jusante} (não atua para faltas além do ponto seguinte)
• Sensibilidade: I_pickup < I_{falta_mín_no_elemento} (atua para faltas no próprio elemento)

Regra prática: I_{pickup_50} ≈ 1,25 × I_{curto_circuito_simétrico} da barra jusante mais próxima. O fator 1,25 dá margem para erro de TC, decremento DC e cálculo de curto.

3. ANSI 51 — Sobrecorrente Temporizada

3.1 Tipos de característica

O relé pode operar em três modos:

• (a) Tempo Definido (DT — Definite Time) — tempo fixo após pickup, independente da magnitude da corrente.
• (b) Tempo Inverso (IDMT) — tempo decresce com a corrente. Conjunto de curvas padronizadas pela IEC 60255-151.
• (c) Tempo Inverso ANSI/IEEE C37.112 — outro conjunto de curvas, mais usado nos EUA.

3.2 Equação IEC 60255-151

t(I) = TMS · K / [ (I / I_s)^α − 1 ]

3.3 Equação IEEE C37.112

t(I) = TD · [ A / (M^p − 1) + B ] ,   M = I / I_pickup

3.4 Parâmetros de ajuste

3.5 Reset (decay / disc emulation)

Em relés eletromecânicos a alavanca/disco voltava lentamente à posição inicial se a corrente caísse antes do trip. Relés numéricos emulam esse comportamento:

t_reset(I) = TMS · t_r / [ 1 − (I / I_s)² ]

com t_r = 0,5 / 3,0 / 13,5 / 80 para DT / SI / VI / EI respectivamente. O modo "instantâneo" simplesmente zera o integrador no instante em que I < I_pickup.

4. Variantes de 50/51

O mesmo princípio (50 / 51) se aplica a outras grandezas elétricas, gerando funções derivadas:

Este card implementa 50, 51, 50N, 51N — as 4 funções de uso mais comum em redes industriais.

5. Coordenação 50 + 51 combinada

A prática consagrada é colocar as duas funções no mesmo elemento de proteção:

        log t
          ↑
 51 (IDMT)|◢◣
          |  ◥◣          ← curva inversa (faltas distantes, backup)
          |    ◥◣
          |─────┴─────── ← 50 instantâneo (faltas próximas, alta corrente)
          |     │
          └─────┴─────── → log I
                I_pu51   I_pu50
        

• 51 garante backup e seletividade com jusante. Coordenação típica: CTI (Coordination Time Interval) = 0,2 a 0,4 s entre relé upstream e fusível/relé downstream para a mesma corrente.
• 50 corta faltas próximas (alta corrente, alta energia I²t) com tempo mínimo.
• O "joelho" da curva combinada ocorre exatamente em I = I_{pu_50}.

6. Algoritmo de implementação (cómo funciona o card)

6.1 Extração do fasor — DFT de 1 ciclo

Em relés numéricos reais, o sinal analógico é amostrado a 16–64 amostras/ciclo (≥ 1 kHz para 60 Hz). A componente fundamental é extraída via filtro DFT de janela móvel:

Ĩ = (2/N) · Σ_k=0..N−1 i_k · e^{−j·2π·k/N}

A saída é o fasor (módulo + ângulo) da componente fundamental, com rejeição natural de DC e harmônicos. Em hardware típico (ESP32 + ADS131M08) isso é feito em < 1 ms por canal.

6.2 Avaliação de 50 — tempo definido

a cada ciclo (dt ≈ 1/60 s ≈ 16,7 ms):
    se |I| ≥ I_pickup:
        se !pickup: pickup = true ; t0 = agora
        se (agora − t0) ≥ T_delay: TRIP
    senão:
        pickup = false

6.3 Avaliação de 51 — integração de tempo

A implementação correta não usa "tempo absoluto desde pickup". Em vez disso, integra dt / t_op(I) a cada ciclo — isso lida com correntes que flutuam acima e abaixo do pickup ou que variam de magnitude durante a falta:

a cada ciclo:
    M = I / I_pickup
    se M ≥ 1:
        t_op = curva(M, TMS)         ← equação IEC ou IEEE
        ∫ += dt / t_op
        se ∫ ≥ 1.0:  TRIP
    senão:
        ∫ → reset (instantâneo ou disc-emulation)

Este é exatamente o algoritmo deste card — veja evalIDMT() em app.js.

6.4 Cálculo de 3·I₀ e componentes simétricas

3·I₀ = I_a + I_b + I_c    (soma vetorial dos três fasores)

I₁ = (I_a + a·I_b + a²·I_c) / 3   I₂ = (I_a + a²·I_b + a·I_c) / 3

onde a = 1∠120° (operador de Fortescue). I₁ é a componente de sequência positiva (presente em qualquer condição), I₂ a negativa (presente em desequilíbrio/faltas) e I₀ a homopolar (presente em falta à terra).

7. Sinais de entrada que o card precisa

No futuro o card receberá esses fasores via WebSocket binário do ESP32+ADS131M08 (protocolo do projeto simulador-gerador). Por ora, eles são gerados pelo simulador interno do próprio card.

8. Critérios práticos de ajuste

8.1 Para alimentador industrial típico

8.2 Para transformador

• 50 lado AT: 8–10 × I_{nominal_trafo} (acima do inrush)
• 51 lado AT: 1,5 × I_nominal, curva EI
• Bloqueio por 2ª harmônica obrigatório para evitar trip no fechamento

8.3 Cuidados

• Inrush de transformador pode chegar a 8–12 × I_n nominal durante 100–500 ms — habilitar bloqueio por 2ª harmônica em 50.
• Partida de motor: 6 × I_n por até 10 s — curva LTI ou pickup elevado.
• Saturação de TC em faltas próximas pode mascarar a corrente real — relés modernos detectam e compensam.

9. Normas e referências

10. Testes obrigatórios (commissioning)

1. Pickup — injetar 0,95 × I_s → relé não deve atuar; injetar 1,05 × I_s → relé deve partir (51) ou atuar (50)
2. Precisão de tempo (51) — para 2 × I_s, 5 ×, 10 ×, 20 ×: comparar tempo medido vs. tempo calculado pela equação (tolerância ±5 % típica)
3. Dropout ratio — confirmar que o relé reseta em ~0,95 × I_s
4. Reset characteristic — verificar comportamento do integrador quando I cai antes do trip
5. Inrush — injetar onda com 2ª harmônica > 15 % do fundamental → 50 não deve atuar se bloqueio ativo
6. Repetibilidade — múltiplos disparos consecutivos com mesma corrente devem dar tempos idênticos (±2 %)

Testes feitos com malas de ensaio (Omicron CMC, Doble, ISA) que injetam correntes secundárias controladas e medem tempo do TRIP.

11. Como usar este card para aprender

1. Clique em "Nominal 1×In" — as 3 correntes ficam equilibradas em I_n. Nada atua. Esta é a condição normal.
2. Clique em "Sobrecarga 1,5×In" — 51 vai pegar pickup (LED amarelo) e começar a contar. Observe o "t restante" diminuindo. Após ~12 s na curva SI/TMS=0,20 vem o TRIP (LED vermelho). 50 não atua (1,5 < pickup 8).
3. Clique em "Falta 3F (20×In)" — 50 atua imediatamente (M = 20/8 = 2,5 passa do patamar). 51 também atua, mas 50 chega primeiro. Disjuntor abre.
4. Clique em "Religar" — disjuntor volta a fechar, ciclo reinicia.
5. Mude a curva 51 (SI → VI → EI) com sobrecarga 1,5× — note como o tempo de atuação varia (EI é muito mais rápida para faltas grandes, mais lenta para faltas pequenas).
6. Clique em "Falta terra" e habilite 50N/51N — observe 3·I₀ subir e as funções residuais atuarem.
7. Acompanhe o ponto verde na curva log-log: ele mostra exatamente onde o ponto de operação está em relação à curva 51.